«Mathematicians also engage in pure mathematics, or mathematics for its own sake, without having any application in mind, although practical applications for what began as pure mathematics are often discovered later» (Peterson)
«As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain; and as far as they are certain, they do not refer to reality» (Albert Einstein) (Από το en.wikipedia.org)
Η αρχή των μαθηματικών δεν θα μπορούσε παρά να προέρχεται από την εμπειρία. Χωρίς την πρωταρχική εμπειρική αντίληψη του χώρου και του χρόνου δεν έχουμε μαθηματικά. Όσο στα μαθηματικά έχουμε απλές μαθηματικές πράξεις (αριθμητικές ή γεωμετρικές) μπορούμε ακόμα να διακρίνουμε την σχέση τους με την εμπειρία (ως αφαίρεση από πραγματικές σχέσεις, πχ. Ο αριθμός 1,2, το ευθύγραμμο τμήμα κλπ.). Όσο όμως προχωράμε σε πιο πολύπλοκα μαθηματικά τα πράγματα δυσκολεύουν.
Στα «Προλεγόμενα για κάθε μελλοντική μεταφυσική» ο Καντ, ισχυρίζεται ότι τα μαθηματικά είναι μια εξ ολοκλήρου καθαρή επιστήμη, δηλαδή μια επιστήμη που αναπτύσσεται a priori (ανεξάρτητα από την εμπειρία). Λέει λοιπόν για τα μαθηματικά: «εδώ υπάρχει μια μεγάλη και δοκιμασμένη γνώση … που έχει μέσα της πέρα για πέρα αποδεικτική βεβαιότητα, δηλαδή απόλυτη αναγκαιότητα, συνεπώς δεν βασίζεται πάνω σε εμπειρικά θεμέλια, είναι λοιπόν καθαρό προϊόν της λογικής». Διερευνώντας τις αρχικές τους πηγές ανακαλύπτει ότι « κάθε μαθηματική γνώση έχει την εξής ιδιοτυπία: πρέπει πρώτα να παρουσιάζει την έννοια της μέσα στην εποπτεία και μάλιστα a priori, δηλαδή σε μια εποπτεία που να μην είναι εμπειρική αλλά καθαρή». Από την «κριτική του Καθαρού λόγου» διαβάζουμε «ονομάζω καθαρές… όλες τις παραστάσεις στις οποίες δεν υπάρχει τίποτα που να ανήκει στο αίσθημα. Συνεπώς η καθαρή μορφή των κατ’ αίσθηση εποπτειών, χάρη στην οποία όλη η πολλαπλότητα των φαινομένων εποπτεύεται κάτω από το φως ορισμένων σχέσεων, βρίσκεται a priori μέσα στο πνεύμα». «αυτό είναι δυνατό μόνο εφόσον η εποπτεία δεν εποπτεύει το υλικό κάποιου αντικειμένου, που μας γίνεται αντιληπτό μέσω των αισθήσεων, αλλά αφορά μόνο τη μορφή, την ικανότητα να σκεπτόμαστε» (από τα «προλεγόμενα»). Ο καθαρός «χώρος (ΣΣ. Γεωμετρία) και ο χρόνος (ΣΣ. Αριθμητική) είναι εκείνες οι εποπτείες, τις οποίες τα καθαρά Μαθηματικά θέτουν ως βάση όλων των γνώσεων και κρίσεων τους, οι οποίες θεωρούνται αποδεικτικές και συνάμα αναγκαίες… τα Μαθηματικά είναι αδύνατο να προχωρήσουν έστω και ένα βήμα, όσο τους λείπει η καθαρή εποπτεία, γιατί μόνο αυτή δίνει το υλικό για συνθετικές κρίσεις a priori».
«Για να εξηγήσουμε και να επικυρώσουμε όσα ειπώθηκαν, αρκεί να προσέξουμε τη συνηθισμένη και απόλυτα αναγκαία μέθοδο ενός γεωμέτρη. Όλες οι αποδείξεις για το ότι δυο δεδομένα σχήματα είναι εντελώς όμοια (εφόσον όλα τα μέρη του ενός μπορούν να τεθούν στη θέση του άλλου) καταλήγουν τελικά στο ότι αυτά συμπίπτουν, τούτο δεν είναι προφανώς άλλο από μια συνθετική πρόταση που στηρίζεται στην άμεση εποπτεία, και αυτή η εποπτεία πρέπει να είναι δεδομένη καθαρά και a priori, γιατί αλλιώς αυτή η πρόταση δε θα μπορούσε να ισχύει ως αποδεικτικά βέβαιη, παρά θα είχε μόνο εμπειρική βεβαιότητα. Θα σήμαινε μόνο: έχουν παρατηρήσει ότι αυτό έτσι είναι πάντα, και αυτή η πρόταση ισχύει τόσο μόνο, όσο εκτείνεται η κατ’ αίσθηση αντίληψη μας. Ότι όλος ο χώρος (ο οποίος σαν τέτοιος δεν είναι πια όριο ενός άλλου χώρου) έχει τρεις διαστάσεις, και ότι ο χώρος εν γένει δεν μπορεί επίσης να έχει περισσότερες απ’ αυτές, στηρίζεται στην πρόταση ότι σε ένα σημείο δεν μπορούν να τέμνονται κατά ορθή γωνία περισσότερες από τρείς γραμμές, αλλά αυτή η πρόταση δεν μπορεί να αποδειχτεί με έννοιες, παρά στηρίζεται απευθείας πάνω σε εποπτεία και μάλιστα πάνω σε καθαρή εποπτεία a priori, γιατί η πρόταση είναι αποδεικτικά βέβαιη. Το να απαίτηση κάποιος να εκτείνεται μια ευθεία μέχρι το άπειρο ή να συνεχίζεται επ’ άπειρο μια σειρά μεταβολών (πχ. Χώροι τους οποίους έχει διατρέξει μια κίνηση), προϋποθέτει μια παράσταση περί χώρου και χρόνου, που μπορεί να εξαρτάται μόνο από την εποπτεία, κατά το μέτρο που αυτή δεν περιορίζεται από τίποτα, γιατί από έννοιες αυτή δεν θα μπορούσε ποτέ να παραχθεί. Στα Μαθηματικά υπάρχουν λοιπόν πράγματι ως βάσεις καθαρές εποπτείες a priori, οι οποίες καθιστούν δυνατές τις συνθετικές και αποδεικτικά ισχύουσες μαθηματικές προτάσεις, συνεπώς η δική μας υπερβατική παραγωγή των εννοιών χώρος και χρόνος εξηγεί συνάμα την δυνατότητα μιας καθαρής μαθηματικής επιστήμης, η οποία χωρίς μια τέτοια παραγωγή και αν δε δεχτούμε ότι ‘κάθε τι που μπορεί να δοθεί στις αισθήσεις μας το αντιλαμβανόμαστε όνο όπως μας εμφανίζεται και όχι όπως είναι καθ’ εαυτό’ θα μπορούσε η μαθηματική επιστήμη να γίνει δεκτή, αλλά κατά κανένα τρόπο κατανοητή». (τα bold δικά μου).
Το πρόβλημα όμως δεν ξεκινάει ούτε τελειώνει με τον Καντ. Ο διαχωρισμός αυτός αρχίζει από τον Πλάτωνα (και φτάνει μέχρι και σήμερα) που διέκρινε τα μαθηματικά σε αριθμητικά και λογιστικά, τα αριθμητικά απευθύνονται στους επαγγελματίες και τους πολεμιστές, ενώ τα λογιστικά στους φιλοσόφους. Ο Hardy (20ος αιώνας) έδωσε τους εξής ορισμούς: τα εφαρμοσμένα μαθηματικά εκφράζουν την φυσική αλήθεια σε μαθηματικά πλαίσια, ενώ τα καθαρά μαθηματικά εκφράζουν αλήθειες που είναι ανεξάρτητες από τον φυσικό κόσμο. (Από το en.wikipedia.org)
Πράγματι, εκ πρώτης όψεως, σε αυτό που λέγετε «καθαρά μαθηματικά», μπορούμε να βρούμε πολλά παραδείγματα από θεωρήματα ή εξισώσεις όπου η απόδειξη τους προέρχεται από την χρήση πολύπλοκων μαθηματικών εξισώσεων, στα οποία όμως δεν μελετάται τίποτα το πραγματικό (πόσο μάλλον ένα πρόβλημα που να προέκυψε από αυτήν), αλλά μελετώνται τα ίδια τα μαθηματικά κινούμενα «μέσα στον εαυτό τους», ανεξάρτητα από την εμπειρία. Για αυτό και πολλές εξισώσεις και θεωρήματα δεν έχουν ακόμα πρακτική εφαρμογή, παρότι μέσω της θεωρίας των Μαθηματικών μπορούμε να γνωρίζουμε ότι είναι σωστά. Με τον ίδιο τρόπο πολλά θεωρήματα, εξισώσεις και μέθοδοι υπολογισμού που αποδείχτηκαν στο παρελθόν χρειάστηκε πολύς καιρός για να βρεθεί η χρησιμότητα τους όπως ο «γρήγορος μετασχηματισμός Fourier» που χρησιμοποιήθηκε μισό αιώνα μετά, και αποτέλεσε αναγκαίο εργαλείο για την ανάπτυξη των σύγχρονων τηλεπικοινωνιών 2 αιώνες μετά. Αυτό μπορεί να σημάνει ότι δεν εξετάστηκε κανένα πρόβλημα προερχόμενο από την πραγματικότητα, αλλά ότι η μαθηματική σκέψη κινήθηκε γύρω από τον εαυτό της, δηλαδή υπήρχε μια «καθαρή» σκέψη που κινήθηκε μονάχα στα μαθηματικά ανεξάρτητα από την εμπειρία.
Σε αυτήν την σύντομη παρουσίαση του προβλήματος τίθενται μια σειρά από ερωτήματα:
Είναι τα μαθηματικά «καθαρή» επιστήμη; Είναι σωστή η χρήση εννοιών όπως ευθεία (δηλαδή να μην έχει ούτε αρχή, ούτε μέση, ούτε τέλος, σε αντίθεση με το ευθύγραμμο τμήμα), αόριστο ολοκλήρωμα κλπ.; Είναι η διάκριση των μαθηματικών σε καθαρά και εφαρμοσμένα σωστή;
«Δεν υπάρχει κλάδος των μαθηματικών, όσο αφηρημένος και αν είναι, που να μην έχει κάποια στιγμή εφαρμογή στα φαινόμενα του πραγματικού κόσμου» μας λέει ο Nikolai Lobachevsky. Αν είναι έτσι τότε τίθεται το ερώτημα από πού και γιατί προέκυψαν; Τι είναι αυτό που εκφράζει μια τέτοια βεβαιότητα;
Τι απόψεις υπάρχουν;
ΥΓ. Διευκρινίζω κάτι. Σε όλες τις άλλες επιστήμες μπορούμε εύκολα να απορρίψουμε ότι η γνώση είναι a priori (όπως το εννοεί ο Καντ). Το ερώτημα τίθεται στα μαθηματικά και μόνο. Το διευκρινίζω αυτό με την ελπίδα να διατηρήσω την συζήτηση στα πλαίσια της εξέτασης των μαθηματικών και να μην επεκταθούμε άσκοπα σε άλλες επιστήμες.
οι αποψεις που ακολουθουν ειναι καθαρα προσωπικες.
Αρχικα νομιζω οτι τα μαθηματικα ξεκινισαν σαν επιστημη βασισμενα απολυτα πανω στην πραγματικοτητα. Δεν ηταν παρα ενα εργαλειο περιγραφης της πραγματικοτητας και των φυσικων νομων δηλαδη μια καπως ιδιαιτερη ισως γλωσσα. Το μοναδικο πλεονεκτημα της μαθηματικης γλωσσας ηταν οτι περιοριζε τρομερα τις ασαφειες. Τα μαθηματικα λενε παντα αληθεια. Ακομη και η στατιστικη λεει παντα αληθεια οσο αναφορα το μαθηματικο της σκελος. Πατωντας στην αναλογια αυτη μπορουμε να παρομοιασουμε τα μαθηματικα με μια γλωσσα προγραμματισμου η ενα εξελιγμενο λογισμικο που μας δινει προβλεψεις για το μελλον βασισμενο σε σημερινα δεδομενα. Υπαρχουν πολλες πιθανοτητες να δωσει σωστα αποτελεσματα που το μελλον θα τα επιβεβαιωσει. Αν λαβουμε υποψη οτι τα μαθηματικα σαν γλωσσα δεν περιεχουν λαθη μπορει κανεις να τα εξελιξει θεωρητικα πατωντας στα ηδη υπαρχοντα δεδομενα και να φτιαξει τη γλωσσα περιγραφης του μελλοντος. Το ζητημα ειναι οτι ο κυριος αυτος που σαφως θεωρητικολογει και το κανει χωρις τα μελλοντικα δεδομενα που θα περιγραψει η μαθηματικη του γλωσσα, παταει ωστοσο στην πραγματικοτητα των σημερινων μαθηματικων και σαφως και εχει δεδομενα που δεν ειναι αλλα απο τα ιδια τα μαθηματικα(μια γλωσσα που μεχρι σημερα δεν μας εχει προδωσει με λαθη. Ο μαθηματικος που ασχολειται με τα 'καθαρα' μαθηματικα εχει λοιπον αλανθαστα δεδομενα:την ιδια την μαθηματικη γλωσσα). Εδω μπορουμε να χωρισουμε λοιπον τους μαθηματικους σ' αυτους που ασχολουνται με τα μαθηματικα σαν μεσω εκφρασης του κοσμου και τους 'καθαρους' που ασχολουνται με την εξελιξη της ιδιας της γλωσσας, ασχολουνται με την θεωρητικη της δομη και τις απειρες δυνατοτητές της. κατι παρομοιο μπορει να κανει και ο εξελκτης μιας γλωσσας προγραμματισμου. Σαφως και ο μαθηματικος που θα εξελιξει τοιουτοτροπως την επιστημη του θα εχει φτιαξει μια γλωσσα για το μελλον αλλα εξισου σαφως εχει πατησει σε φερεγγυα δεδομενα του σημερα. Τα μαθηματικα επιπλέον ειναι επισης η γλωσσα περιγραφης του εαυτου της και αρα της εξελιξης του εαυτου της. Ο φυσικος με την περιγραφη των φυσικων νομων μεσω των μαθηματικων καταφερνει να αλλαξει τον κοσμο και μας οδηγει στο μελλον(με νεες εφευρεσεις αναμεσα τους και εφευρεσεις που αποτελουν εργαλεια για περεταιρω παρατηρησεις που θα οδηγησουν σε μεγαλυτερη αναπτηξη της ιδιας της φυσικης.)Ο μαθηματικος κανει ακριβως το ιδιο: με εργαλειο το ιδιο το εργαλειο μαθηματικα δημιουργει νεα μαθηματικα εργαλεια. Οχι αυτα τα εργαλεια δεν προυπηρχαν ειναι το αποτελεσμα της διανοητικης εργασειας του διμιουργου τους με την βοηθεια ηδη υπαρχόντων διανοητικών (μαθηματιων) εργαλείων. Συνεπως: 1.τα μαθηματικα δεν ειναι παρθενογενεσση και εξαρχης φτιαχτηκαν για να εξυπηρετησουν τον σκοπο περιγραφης της πραγματικοτητας. 2. Ειναι επισης η γλωσσα περιγραφης του εαυτου της και αρα της εξελιξης του εαυτου της. 3. Ειναι δημιουργημα του ανθρωπου (δεν υφιστεται προ της εφευρεσης του γιατι δεν ειναι φυσικος νομος) που στην εξελιξη του στο διηνεκες πατα συνεχως στην πραγματικοτητα. Οταν φτιαχνουμε ενα εργαλειο που μπορει να περιγραφει την υπαρξη καποιου φαινομενου την υπαρξη του οποιου ακομη αγνοουμε παταμε στην πραγματικοτητα γιατι αυτο το εργαλειο περιγραφει ταυτοχρονα τα μαθηματικα εργαλεια που προυπήρχαν.(δεν ειναι σπανιο σε αλλες επιστημες να γινονται εφευρεσεις και ανακαλυψεις που εκ των υστρερων αποκτουν αλλες χρησεις ή περιεχομενο απο το αρχικο) Αυτο γινεται και με την ανακαλυψη (μαλλον προκειται για εφευρεση καθως το γεγονος της μη υλικης υποστασης δεν αναιρει το γεγονος της μη προηγουμενης υπαρξης ενος εργαλειου που εφευρεθηκε για να περιγραψει και να εξελιξει τη μαθηματικη επιστημη.) μαθηματικων εργαλειων που στην συνεχεια αποκτουν μια νεα επιπλεον χρηση (εκτος απο την αρχικη πειγραφης, παρατηρησης και εξελιξης του "εαυτου") την περιγραφη ενος νεοανακαλυφθεντος φυσικου φαινομενου.
Αυτα,Συγνωμη για την ελλειψη τονων και τα πιθανα ορθογραφικα. Περιμενω σχολια, παρατηρησεις και κυριως ενστασεις για μια δημιουργικη διαμαχη. Ειρωνικα σχολια και μπινελικια δεκτα. Αποφυγετε τις καταρες γιατι τις φοβαμαι!!!
ΤΑ ΜΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΝΑΜΦΙΣΒΗΤΗΤΑ ΕΙΝΑΙ ΕΠΙΣΤΗΜΗ!ΚΑΙ ΜΑΛΙΣΤΑ ΜΙΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ ΕΛΚΥΣΤΗΚΗ,ΚΑΘΩΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΙ ΜΕ ΤΡΟΜΑΚΤΙΚΗ ΛΕΠΤΟΜΕΡΕΙΑ ΚΑΙ ΣΑΦΗΝΕΙΑ ΤΗΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ,ΧΩΡΙΣ ΝΑ ΑΝΑΚΑΤΕΥΟΥΝ ΚΑΘΟΛΟΥ ΤΟΝ ΥΠΟΚΕΙΜΕΝΙΚΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ!ΟΜΩΣ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ,ΣΑΝ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΕΣ ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΙΣ ΟΠΟΙΕΣ,ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝ,ΠΡΟΦΑΝΩΣ ΚΑΙ ΔΕΝ ΘΕΜΕΛΙΩΝΕΤΑΙ ΜΟΝΗ ΤΗΣ,ΟΥΤΕ ΚΑΙ ΜΟΝΑ ΤΟΥΣ(ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ)ΣΥΓΚΡΟΤΟΥΝ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΟΥΣ,ΑΝΤΙΣΤΟΙΧA.ΟΠΩΣ ΕΙΧΕ ΠΕΙ ΚΑΙ O ALBERT EINSTEIN ΣΤΑ ΘΕΜΕΛΕΙΑ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ,ΥΠΑΡΧΕΙ ΛΑΣΠΗ!ΚΑΙ ΤΙ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ΑΥΤΟ?ΠΩΣ ΚΑΘΕ ΕΠΙΣΤΗΜΗ,ΑΡΑ ΚΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΕΛΙΩΝΟΝΤΑΙ ΘΕΤΙΚΑ,ΣΥΝΕΠΩΣ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ!ΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ, ΒΑΣΙΖΕΤΑΙ ΣΕ ΕΝΑ ΑΞΙΩΜΑ,(ΤΟ ΟΠΟΙΟ ΕΙΝΑΙ ΑΥΤΑΠΟΔΕΙΚΤΟ) ΚΑΙ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΥΤΟ,ΟΡΘΩΝΕΤΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΡΟ ΤΟ ΘΑΥΜΑΣΤΟ ΕΠΟΙΚΟΔΟΜΗΜΑ ΠΟΥ ΓΝΩΡΙΖΟΥΜΕ ΣΗΜΕΡΑ ΩΣ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ!ΟΜΩΣ ΔΕΝ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΞΕΧΝΑΜΕ ΠΩΣ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΜΕΧΡΙ ΣΗΜΕΡΑ ΑΛΛΕΣ 2 ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΟΙ ΟΠΟΙΕΣ ΣΤΗΡΙΖΟΝΤΑΙ ΣΕ 2 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ,Η ΚΑΘΕ ΜΙΑ,ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΥΚΛΕΙΔΙΑ,ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥ,ΑΞΙΩΜΑΤΑ, ΜΕ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΝΑ ΕΧΟΥΜΕ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ 2 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ!ΑΡΑ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΕΧΟΥΜΕ 3 ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΑ ΕΙΔΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΠΟΥ ΠΑΡΟΛΑ ΑΥΤΑ ΕΙΝΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΜΕΝΕΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗ ΚΟΙΝΟΤΗΤΑ, ΚΑΙ ΜΑΛΙΣΤΑ ΚΑΘΕ ΜΙΑ ΑΠΟ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΝΕΙ ΣΤΟ ΣΤΡΑΤΟΠΕΔΟ ΤΗΣ ΕΝΑ ΣΥΜΑΝΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΟΛΥ ΣΟΒΑΡΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΩΝ!
ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΧΟΥΜΕ ΤΙΣ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΟΥ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΚΑΙ ΧΡΙΣΗΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ,ΟΠΩΣ ΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ!ΠΩΣ ΠΡΟΕΚΥΨΑΝ ΑΥΤΟΙ?ΤΟΥΣ ΕΙΔΕ ΠΟΤΕ ΚΑΝΕΙΣ ΝΑ ΤΡΕΧΟΥΝ ΠΟΥΘΕΝΑ ΕΛΕΥΘΕΡΟΙ ΣΣΤΟΥΣ ΚΑΜΠΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΑ ΒΟΥΝΑ??:-)ΜΑΛΛΟΝ ΟΧΙ!!!ΑΡΑ ΟΔΗΓΟΥΜΑΣΤΕ ΣΤΟ ΣΤΟ ΠΡΟΦΑΝΕΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ ΠΩΣ ΟΙ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝ ΓΕΝΗ(ΚΑΙ ΔΕΝ ΓΕΝΙΚΕΥΩ ΑΥΘΕΡΕΤΑ),ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΤΙΠΟΤΑ ΑΛΛΟ ΠΑΡΑ ΠΡΟΙΟΝ ΜΙΑΣ a-priori ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑΣ ΠΟΥ ΣΙΓΟΥΡΑ ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ ΕΠΙΚΤΗΤΗ Η ΚΟΙΝΩΝΙΚΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΣΜΕΝΗ.Ο E.HUSSERL ΕΝΑΣ ΜΕΓΑΛΟΣ ΦΙΛΟΣΟΦΟΣ ΚΑΙ ΙΔΡΥΤΗΣ ΤΗΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΛΟΓΙΑΣ,ΕΚΑΝΕ ΛΟΓΟ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΓΩΓΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΚΑΙ ΚΑΤΕΛΗΞΕ ΠΩΣ ΣΥΓΟΥΡΑ ΥΠΑΡΧΕΙ(Η ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΠΡΩΤΕΙΝΕ)ΜΙΑ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΝΟΗΤΙΚΗ(ΟΧΙ ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ.ΜΕ ΤΗΝ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΝΕΥΡΟΒΙΟΛΟΓΙΑΣ.Η ΦΑΙΝΟΜΕΝΟΛΟΓΙΑ ΔΕΝ ΑΣΧΟΛΕΙΤΕ ΜΕ ΤΗΝ ΒΙΟΛΟΓΙΚΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΩΝ,ΑΛΛΑ ΜΕΛΕΤΑ ΤΑ ΠΡΑΓΜΑΤΑ ΕΤΣΙ ΟΠΩΣ ΑΥΤΑ ΔΙΝΟΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΝΕΙΔΗΣΗ.ΔΗΛΑΔΗ ΣΑΝ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ)Η ΔΙΑΔΗΚΑΣΙΑ ΑΥΤΗ ΕΙΝΑΙ ΑΡΚΕΤΑ ΠΟΛΥΠΛΟΚΗ ΚΑΙ ΔΥΣΤΥΧΩΣ ΔΕΝ ΔΥΝΑΜΑΙ ΝΑ ΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΩ ΚΑΘΩΣ ΚΑΙ ΕΓΩ ΣΤΗΝ ΜΕΛΕΤΗ ΒΡΙΣΚΟΜΑΙ ΑΥΤΗΝ ΤΗΝ ΣΤΙΓΜΗ.ΓΙΑ ΝΑ ΤΕΛΕΙΩΝΩ ΛΟΙΠΟΝ,ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΙ ΕΧΟΥΝ ΣΧΕΣΕΙ ΜΕ ΤΗΝ ΕΜΠΕΙΡΙΑ.ΦΥΣΙΚΑ ΚΑΙ ΕΙΝΑΙ ΠΡΟΙΟΝ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ.ΑΛΛΑ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΑ ΔΕΝ ΜΠΟΡΟΥΝ ΚΑΙ ΑΥΤΑ ΠΑΡΑ ΝΑ ΥΠΟΤΑΧΘΟΥΝ ΣΤΗΝ ΜΥΤΡΑ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΗ ΤΟΥΣ ΛΥΔΙΑ ΛΥΘΟ ΤΗΝ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑ!!!!!!!!!!!!!!
Αγαπητέ κύριε Μπατή, είναι φανερό πως αν δεχθούμε την άποψη Hardy, τότε θα πρέπει να δεχθούμε την ύπαρξη και αληθειών πέρα από τον φυσικό κόσμο! Πάμε στον Σπίλμπεργκ. Φρονώ η άποψη είναι επιπόλαιη, καθώς δεν δείχνει να λαμβάνει υπόψη της ότι αλήθεια εκτός (ανεξάρτητα) του φυσικού κόσμου είναι μη πραγματική ή φυσική αλήθεια και τέτοια αλήθεια δεν υπάρχει με αποδείξεις, άρα η έννοια αλήθεια όπως και να ερμηνευτεί επί του ασφαλούς δεν μπορεί να περιγραφεί σαν μη πραγματική αλήθεια. Μη πραγματική αλήθεια είναι το ψεύδος ή το σφάλμα. Επομένως τα μαθηματικά δεν μπορούν να διαχωριστούν με αυτή την επιπόλαιη χρήση της έννοιας της αλήθειας αποκομμένη από την φύση – πραγματικότητα και οφείλουν και τα μεν και τα δε να αποδίδουν μονοσήμαντο αποτέλεσμα όταν με ίδιες μαθηματικές πράξεις και ίδια δεδομένα, καταλήγουμε σε θεωρητικό ή αριθμητικό συμπερασμό.
Αυτό είναι σωστό, ωστόσο δεν είναι σωστό να λέμε ότι το αποδεδειγμένο είναι αληθές, παρά μόνο ορθό αποκλειστικά στο πλαίσιο της εσωτερικής συνέπειας των μαθηματικών προβλέψεων (αξιώματα και σε μεγάλο βαθμό οι ορισμοί που αποδεικνύονται).
Θα πρέπει να λάβουμε επίσης υπόψη, ότι μοναδικό κριτήριο περί το ορθό ή ψευδές ενός μαθηματικού συλλογισμού ή πράξης, είναι τα αξιώματα, για τα οποία δεν είδα να κάνετε κάποια αναφορά. Τα αξιώματα εν τούτοις δεν είναι τυχαία, αλλά διατυπώνονται με βάση την εμπειρία (π.χ. ότι το μέρος είναι μικρότερο του όλου) και όχι κάποιες καθαρά μαθηματικές σκέψεις από φώτιση του αγίου πνεύματος ή ανθρώπινη έμπνευση ανεξάρτητη από τη φυσική πραγματικότητα. Έτσι η σύνδεση μαθηματικών και φυσικής πραγματικότητας είναι άρρηκτη καθώς τα μαθηματικά προέρχονται από την εμπειρία. Η δημιουργία αξιωματικών συστημάτων (που μπορεί να εμφανίσει τα «καθαρά μαθηματικά» όπως λέτε), αφήνει ένα δικό της - μικρό - περιθώριο επαληθεύσεων στο εσωτερικό των συστημάτων όταν δεν υπάρχουν αντιφάσεις και αντινομίες μέσω σύγκρουσης αξιωματικών προβλέψεων. Αυτό διαφέρει βέβαια από το να υποδείξουμε συμπερασμούς που μπορούν να ισχύουν στα μαθηματικά και όχι στη φύση. Θα ήταν αφύσικο όταν κριτήριο των αξιωμάτων είναι η εμπειρία.
Τα μαθηματικά έχουν δικά του εξωτερικά γνωρίσματα της επιστήμης, αν στη θέση του πειράματος στη φυσική επιστήμη, αναγνωρίσουμε την απόδειξη. Πέρα από τα εξωτερικά γνωρίσματα και την εσωτερική συνέπεια που ανταμώνουμε στην εφαρμογή τους, δεν έχουμε κάποια αιτία να τα χαρακτηρίσουμε επιστήμη. Οι αλήθειες τους είναι στηριγμένες σε αναπόδεικτες αλήθειες (αξιώματα) και επομένως αυτό μεταγγίζει στα μαθηματικά το επιστημονικά ανίσχυρο εκ του αναπόδεικτου.
Για να συνοψίσω, τα μαθηματικά είναι μια ιδιαίτερη επιστήμη αποκλειστικά μέσα στα δικά της πλαίσια προβλέψεων και όχι με την έννοια της φυσικής επιστήμης που είναι ανοικτή στον πειραματισμός και την συνεχή επανάληψη του πειράματος, ώστε να είναι ισχυρό το όποιο συμπέρασμα όσο το πείραμα το αποδεικνύει.
Τα μαθηματικά ομοιάζουν με την όποια θρησκεία που είναι πάντα δογματική, αλλά διαφέρουν από αυτή σε δύο τομείς.:
α. Το γνωρίζουν.
β. Μέσα στο δικό τους περιβάλλον μπορούν να έχουν συνέπεια, αφού έχουν το απόλυτο κριτήριο της άμεσης ή έμμεσης σύμφωνης ή ασύμφωνης «γνώμης» των διατυπωμένων και κοινά αποδεκτών αξιωμάτων, που δεν τα έχει καμία θρησκεία.
Προς συμπλήρωση της έλλειψης αποδείξεων οι θρησκείες χρησιμοποιούν το κερί!
Θα ήταν μόνο, αν αναγνωρίζαμε στην ευθεία ότι μπορεί να έχει το όποιο μήκος επιθυμεί ο γεωμέτρης, χωρίς περιορισμό, εκτός του απείρου. Το άπειρο δεν είναι μαθηματική έννοια και εσφαλμένα χρησιμοποιείται, είτε αποδιδόμενη στην έννοια της ευθείας, είτε του επιπέδου, είτε του στερεού. Δεν είναι επομένως ορθή και μόνο σύγχυση προκαλεί χωρίς να επιλύει κανένα πρόβλημα σχετικά με αυτό, πέραν από το να οδηγεί τους μαθηματικούς σε συμβιβασμούς π.χ. της μορφής 0,999999…=1.
Όχι. Είναι καθαρά ένας συμβιβασμός των μαθηματικών που αντιβαίνει στην αποδεκτή έννοια του μονοσήμαντου αποτελέσματος στο οποίο αναφέρθηκα και πριν. Τα μαθηματικά πρέπει να είναι ενιαία και να μη χρησιμοποιείτε το τέχνασμα «διαίρει και βασίλευε» για να χωρέσουν δύο καρπούζια σε μία μασχάλη. Αυτή η μέθοδος δεν είναι αντάξια ούτε των μαθηματικών υπό τη μορφή επιστήμης που περιέγραψα, ούτε των μαθηματικών σαν διακόνων αυτής της επιστήμης.
Δεν είναι έτσι όμως και δεν έχει νόημα να σχολιάζουμε τον Λομπατσέφσκι που η δυνατότητά του να συμμετέχει στα μαθηματικά, στηρίζεται στην αδυναμία του Ευκλείδη (και των όσων ακολούθησαν) να αποδείξει το 5ο αίτημα και όχι στις δικές του αυτόφωτες δυνάμεις. Το ίδιο ισχύει και για τον Ρίμαν.
Αγαπητέ κύριε Μπατή, στα μαθηματικά δεν υπάρχει γνώμη ή άποψη που να μπορεί να καταστεί περιεχόμενό τους, χωρίς αξιωματική στήριξη. Θα φέρω τρία παραδείγματα:
1. Η επίκληση που κάνατε στον Λομπατσέφσκι. Τι είναι ο Λομπατσέγσκι; Πάπας; Έχει κάποια σημασία για τα μαθηματικά η αφηρημένη γνώμη του που θέλει να τα θωπεύσει απλά και να δείξει την αγάπη του προς αυτό το συλλογιστικό επίτευγμα του ανθρώπου και με τον τρόπο να ενθαρρύνει τους μαθηματικούς που τον τίμησαν και τον τιμούν χωρίς να το αξίζει; Το είπε ο Λομπατσέφσκι! Ε, και τι έγινε;
2. Ασφαλώς θα γνωρίζετε, αφού έχετε και αναπαράγετε αντιλήψεις περί καθαρών και μη καθαρών (αντιδιαστολή στο καθαρό είναι το μη καθαρό) μαθηματικών, ότι τα «καθαρά» μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης. Σας καλώ να μου υποδείξετε αξίωμα που να υποχρεώνει τον μαθηματικό να «δουλεύει» αφαιρετικά της φύσης και να οδηγεί με αυτόν τον τρόπο τα μαθηματικά στον διχασμό αναγνωρίζοντας τομείς καθαρότητας και μη. Αυτό είναι σημαντικό θέμα, διότι αν δεν υπάρχει το αναφερόμενο αξίωμα, τότε δεν μπορούμε να λέμε τα μαθηματικά λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης – παρά μόνο αυθαίρετα και καταχρηστικά - και επομένως έχουμε δύο είδη μαθηματικών «τα καθαρά και τα εφαρμοσμένα».
3. Λ.χ. το πυθαγόρειο θεώρημα ανήκει στα καθαρά ή στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, σύμφωνα με τις περιγραφές των μεν και δε επί των οποίων αναφέρεστε, αγαπητέ κύριε Μπατή;
Θα χαρώ να δεχτώ την απάντησή σας.
Αγαπητέ σχολαστικέ,
Σας ευχαριστώ πάρα πολύ για την απάντηση, νομίζω ότι βοηθήσατε με τον καλύτερο δυνατό τρόπο στο ερώτημα που έθεσα. Φαίνεται ότι κατανοείτε το θέμα πολύ καλύτερα από εμένα. Πριν γράψω για το θέμα μας, να διευκρινίσω κάποια πράγματα.
Καταρχήν, στο συγκεκριμένο θέμα που άνοιξα πριν από καιρό, το οποίο δεν είναι άρθρο (αλλά αρχή μιας συζήτησης στην μικρή μας «κοινότητα»), δεν δήλωσα κάτι συγκεκριμένο (αν και δικαιολογημένα κάποιος που διαβάζει το thread μπορεί να βρει υπόνοιες για κάτι τέτοιο, για αυτό ευθύνομαι εγώ), δεν απέδειξα κάτι, άλλα διατύπωσα ένα ερώτημα που γεννήθηκε από την μελέτη μου στο έργου του Καντ (μελέτη που φυσικά δεν έγινε από την σκοπιά ενός «Καντιανισμού» τέτοιος σήμερα είναι παράλογο να υπάρχει, αλλά από την σκοπιά της διερεύνησης της ιστορίας της μεθόδου, και καλύτερης κατανόησης αυτής) με βάση τα βιβλία «Κριτική του καθαρού λόγου», και «Προλεγόμενα για κάθε μελλοντική μεταφυσική», όπου στην έρευνα του βασίζεται αρκετά στα μαθηματικά. Ακόμα δανειστικά την κυρίαρχη αντίληψη, αυτή της διάκρισης των μαθηματικών σε καθαρά και εφαρμοσμένα (που με βάση αυτό υπάρχουν σήμερα δύο σχολές Μαθηματικών, η μια στο Πανεπιστήμιο ως μαθηματική σχολή, και η άλλη στο Πολυτεχνείο ως σχολή εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπου η εργασία των πτυχιούχων φοιτητών διαφέρει). Για την ώρα δεν κρίνω αν είναι σωστός ο διαχωρισμός, ξεκαθαρίζω όμως ότι η σκέψη μου τείνει στο εξής συμπέρασμα ότι αν δώσουμε άλλο περιεχόμενο στα «καθαρά μαθηματικά» ο διαχωρισμός ίσως να είναι σωστός. Αυτό είναι μια υπόθεση, όχι μια θέση.
Δεύτερον, δεν είμαι μαθηματικός, είμαι φοιτητής πολιτικός μηχανικός, και αυτό μου δίνει την δυνατότητα να γνωρίζω αρκετά πράγματα περί μαθηματικών, και να έχω πολύ καλή εξοικείωση με τα μαθηματικά μοντέλα (τα οποία διαφέρουν ουσιωδώς από τα αντίστοιχα των καθαρών μαθηματικών). Πλην όμως δεν έχω ολόπλευρη αντίληψη των μαθηματικών. Αν είχα δεν θα έθετα αυτό το ερώτημα. Θα το είχα λυμένο και θα ασχολούμουν με άλλα θέματα των μαθηματικών. Το εύρος των παρατηρήσεων καθορίζεται σημαντικά από το επίπεδο κατανόησης του αντικειμένου (εδώ των μαθηματικών), έτσι βρίσκομαι σε μειονεκτική θέση.
Τρίτον, δυστυχώς από τότε που έθεσα το θέμα (που επαναλαμβάνω δεν είναι άρθρο) δεν είχα την δυνατότητα να το προχωρήσω στο διάστημα που πέρασε από όταν το έθεσα μέχρι σήμερα. Νομίζω πως το «κλειδί» στην απάντηση του ερωτήματος, είναι η ενασχόληση με την ιστορία των μαθηματικών. Το θέμα βέβαια δεν είναι μαθηματικό, αλλά φιλοσοφικό, πλην όμως σαφέστατα απαιτεί την μέγιστη κατανόηση των μαθηματικών. Εδώ φαντάζομε ότι μπορείτε σαφώς να βοηθήσετε.
Τέταρτον, θίγετε πάρα πολλά ζητήματα (πολλά από τα οποία ξεπερνάνε το θέμα των μαθηματικών), είναι αδύνατο μέσα σε ένα thread να συζητηθούν όλα αυτά. Το ίδιο το θέμα έχει πολλά παράπλευρα ζητήματα από μόνο του. Για τα ίδια τα μαθηματικά πάλι λέτε επίσης πάρα πολλά, αρκετά δεν θα τα σχολιάσω (εγώ τουλάχιστον) ακόμα, λόγο πίεσης χρόνου.
Πέμπτον, για να μπαίνουμε σιγά σιγά στο θέμα. Για το ερώτημα «Είναι τα μαθηματικά «καθαρή» επιστήμη;». Για να δανειστώ ξανά τον Καντ, συμφωνώ μαζί του όταν λέει «το να ρωτήσεις: αν μια επιστήμη είναι δυνατή, προϋποθέτει ότι αμφιβάλλεις για την πραγματικότητα της» (Καντ στα «Προλεγόμενα»). Με αυτό το πνεύμα έγραψα το παραπάνω κείμενο, αυτό για όλα τα μέλη της μικρής μας κοινότητας ήταν από την αρχή κατανοητό. Ελπίζω βέβαια με αυτήν την δήλωση να μην με κατηγορήσετε και για το «άλλο άκρο» (από την αποδοχή της έννοιας «καθαρά» στα μαθηματικά, στην πλήρη απόρριψη τους).
Στο θέμα μας τώρα. Επιτρέψτε μου να κάνω αρχικά κάποιες μεθοδολογικές παρατηρήσεις.
Λέτε λοιπόν: «είναι φανερό πως αν δεχθούμε την άποψη Hardy, τότε θα πρέπει να δεχθούμε την ύπαρξη και αληθειών πέρα από τον φυσικό κόσμο!». Αυτό δεν μπορεί να είναι απάντηση στον Hardy, εδώ νομίζω μπερδεύεται η διαδικασία για να φτάσουμε στο αποτέλεσμα με το αποτέλεσμα. Το ζητούμενο της συζήτησης είναι να αποδείξουμε πως και μέσω όλων των μαθηματικών υπάρχει η πραγματικότητα, δεν είναι αυτό δεδομένο εξ αρχής. Χωρίς να γίνετε αντιληπτό λοιπόν, λέτε «αν δεχθούμε την άποψη Hardy, τότε θα έχει δίκιο ο Hardy!».
Λέτε παρακάτω «δεν είναι σωστό να λέμε ότι το αποδεδειγμένο είναι αληθές, παρά μόνο ορθό αποκλειστικά στο πλαίσιο της εσωτερικής συνέπειας των μαθηματικών προβλέψεων», τότε νομίζω ότι ο καθένας έχει το δικαίωμα να διαμαρτυρηθεί, λέγοντας «τότε πια η σχέση τους με την πραγματικότητα;», και ως εκ τούτου με την αλήθεια. Στις άλλες επιστήμες το αποδεδειγμένο θεωρείτε αληθές (βέβαια μετά από καιρό μπορεί να αποδειχθεί πλάνη, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα), γιατί τα μαθηματικά να έχουν μια τέτοια ιδιοτροπία;
Προς το τέλος αναφέρεστε στην διάκριση των μαθηματικών σε καθαρά και εφαρμοσμένα, απαντώντας με σαφήνεια ότι η διάκριση αυτή δεν είναι σωστή, δήλωση που θα ήθελα πάρα πολύ να την αναπτύξετε ακριβώς επειδή απαντάει στην ουσία του προβλήματος. Συνεχίζεται όμως με έναν ανορθόδοξο τρόπο, λέγοντας ότι «είναι καθαρά ένας συμβιβασμός», που δεν καταλαβαίνω ακριβώς τι εννοείτε. Μια διάκριση που υπάρχει εδώ και τόσα χρόνια δεν μπορεί παρά να βασίζεται σε διαφορές στο ίδιο το αντικείμενο, όχι στις δικές μας σκέψεις πάνω σε αυτό. Αν όμως πούμε ότι η διάκριση αυτή δεν είναι σωστή, τότε ο τρόπος που πραγματευόμαστε το αντικείμενο (είτε των καθαρών είτε των εφαρμοσμένων μαθηματικών είτε και των δύο) πρέπει να αλλάξει.
Πιο πάνω λέτε «Έτσι η σύνδεση μαθηματικών και φυσικής πραγματικότητας είναι άρρηκτη καθώς τα μαθηματικά προέρχονται από την εμπειρία», εδώ η διαμαρτυρία βρίσκεται αποκλειστικά στο όνομα με το οποίο υπογράψατε. Επειδή ακριβώς βασίστηκα κυρίως στον Καντ, όπως φαίνετε από το αρχικό κείμενο, ο ίδιος δεν αρνείται την εμπειρική προέλευση των επιστημών (νομίζω πως αυτό το θέμα είναι λυμένο πολλά χρόνια πριν τον Καντ) αλλά την παραπέρα πορεία των μαθηματικών ως ανεξάρτητη από την εμπειρία μέσω a priori εννοιών. Η έννοια A priori για τον Καντ σημαίνει ότι έχουμε φτάσει την αφαίρεση σε τέτοιο βαθμό, όπου δεν υπάρχει τίποτα πια το εμπειρικό, τίποτα το αισθητηριακά συγκεκριμένο και δεν μένει τίποτα άλλο παρά μόνο μια μορφή. Όπως βλέπετε, φαινομενικά ίσως, η ομοιότητα με τα μαθηματικά είναι εμφανής. Αν όμως δεχτούμε πως τα μαθηματικά αναπτύσσονται a priori, τότε επιβεβαιώνουμε τον Hardy, περί καθαρών μαθηματικών. Ελπίζω με την παραπάνω διευκρίνιση να έγινα λίγο πιο σαφής.
Να το πω λίγο διαφορετικά. Ας υποθέσουμε ότι μέσω της ενασχόλησης μου με τα μαθηματικά καταλήγω σε ένα νέο θεώρημα. Ακολουθώντας μια συγκεκριμένη διαδικασία το αποδεικνύω. Οι διάφοροι παιδαγωγοί, το τοποθετούνε στην θέση του στο σύστημα των μαθηματικών. Στην διδασκαλία των μαθηματικών, που ξεκινάει από τα αξιώματα (στην πραγματικότητα πιο πίσω, αλλά αυτό είναι άλλο θέμα) για να καταλήξει σε ολόκληρο το σύστημα που σε κάποιο σημείο οδηγεί στο θεώρημα μου. Αν ακολουθήσουμε όμως την αντίστροφη πορεία, δηλαδή από το θεώρημα μου προχωράμε συνέχεια σε πιο απλά θεωρήματα για να καταλήξουμε στα αξιώματα, σε αυτήν την πορεία την μόνη σχέση με την πραγματικότητα την βλέπουμε στα αξιώματα! Αν θέλετε παραπλεύρως βλέπουμε την σχέση αυτή και στα θεωρήματα που «πέρασαν τον φράχτη» των καθαρών μαθηματικών, και πήγανε στα εφαρμοσμένα.
Να το πω με έναν τρίτο τρόπο. Ας υποθέσουμε ότι δεν είμαι μαθηματικός, αλλά ψυχολόγος (όπως βλέπεται με τις υποθέσεις είμαι ολοκληρωμένη προσωπικότητα
). Ας πούμε λοιπόν ότι μελετάω την σχέση νόησης και εγκεφάλου. Στο μοναδικό σημείο που μπορώ να βρίσκομαι εκτός πραγματικότητας είναι όταν διατυπώνω υποθέσεις. Εκεί μπορώ να κάνω ότι θέλω. Όταν όμως ερευνώ τις υποθέσεις μου, αν έστω και σε ένα σημείο αποκολληθώ από την πραγματικότητα τότε αυθαιρετώ! Η εν λόγο αυθαιρεσία μπορεί να μην έχει μεγάλη σημασία και να έχω τελοσπάντων κάποια δυνατότητα να προσφέρω κάτι στην ανθρωπότητα, μπορεί όμως να με οδηγήσει ακόμα σε μεγαλύτερες αυθαιρεσίες. Σε αυτήν την επιστήμη λοιπόν, είναι αναγκαίο να βασίζεται κανείς στην εμπειρία. Στα μαθηματικά, φαίνεται (τονίζω την τελευταία λέξη) αυτή η αυθαιρεσία να είναι καθόλα νόμιμη. Μπορώ να δουλέψω με τα μαθηματικά χωρίς να γυρίσω ούτε για λίγο το βλέμμα μου προς την φύση. Εδώ λοιπόν υπάρχει το πρόβλημα!
Αφού διευκρίνισα πιο είναι το πρόβλημα των καθαρών μαθηματικών, μάλλον θα ήταν καλύτερα να ξαναθέσω το ερώτημα με πιο ώριμο τρόπο. Το ερώτημα μου περιστρέφεται γύρω από το τι είναι αλήθεια και τι όχι (που και εσείς με πάρα πολύ ενδιαφέρουσες παρατηρήσεις σχολιάσατε). Ο πιο άμεσος, αφηρημένος προσδιορισμός της αλήθειας είναι ότι, αλήθεια είναι η ταύτιση των ιδεών με την πραγματικότητα. Μπορούν να δοθούν πιο συγκεκριμένοι ορισμοί της αλήθειας, πλην όμως όποιος «είναι με την αλήθεια» και δεν την αρνείται (πχ. μεταμοντέρνο) βασίζεται πάνω σε αυτόν τον προσδιορισμό. Αν λοιπόν η ιδέα δεν ταυτίζεται με την πραγματικότητα τότε είναι πλάνη. Στα μαθηματικά όμως φαίνεται (επαναλαμβάνω ΦΑΙΝΕΤΑΙ) αυτός ο προσδιορισμός να μην τους ταιριάζει. Λίγο απλοϊκά μια νέα μαθηματική ανακάλυψη κρίνεται αληθής, εάν «συμβιβάζεται» με τα αξιώματα, και εαν επαληθεύεται διαρκώς στα μαθηματικά μοντέλα και μόνο σε αυτά, καθώς η χρησιμότητα μιας εξίσωσης ανακαλύπτεται εκ των υστέρων, και όπως προαναφέραμε αρκετές δεν έχουν ακόμα βρει την χρησιμότητα τους , ενώ σε άλλες περιπτώσεις την βρίσκουν 50 χρόνια μετά, ενώ έχουν ήδη κριθεί αληθείς. Ποια είναι η σχέση τους λοιπόν με την πραγματικότητα;
Αυτός είναι και ο λόγος που έβαλα το «τσιτάτο» του Lobachevsky, όχι γιατί τον θεωρώ κάποια αυθεντία (που μπορεί και να είναι, δεν τον κρίνω). Το να λέει κανείς ότι τα μαθηματικά εκφράζουν ένα μέρος της πραγματικότητας, σημαίνει στην συνέπια του ότι η δήλωση του Lobachevsky πρέπει να αποδειχτεί σωστή. Η μόνη συνεπής υλιστική αντίληψη είναι αυτή του Lobachevsky, τα περί διάκρισης «για να μας βολεύει» είναι για εμένα αρκετά αφελές, είναι trick για να γλυτώνει κανείς το ερώτημα, όχι σοβαρή επιστημονική θέση. Ως εκ τούτου η αντίδραση σας στο άκουσμα του Lobachevsky (που μπορούμε να την ερμηνεύσουμε μόνο στα πλαίσια των εξαρτημένων αντανακλαστικών) μου είναι ακατανόητη, αφού δεν προσφέρει τίποτα στην συζήτηση. Για να έχει νόημα στην συζήτηση θα ήθελα να αναπτύξετε την άποψη σας ότι «Δεν είναι έτσι», δηλαδή ότι μπορεί να υπάρξει κάποιο θεώρημα όπου δεν θα «έχει κάποια στιγμή εφαρμογή στα φαινόμενα του πραγματικού κόσμου». Αυτή η φράση σας μάλιστα αντιφάσκει με μια άλλη φράση σας για μαθηματικές προβλέψεις, και περί ταύτισης αλήθειας των μαθηματικών και της φύσης.
Όπως ανάφερα στην αρχή, λέτε πάρα πολλά πράγματα, που λόγο χρόνου δεν προλαβαίνω να σχολιάσω. Με αρκετά πράγματα που λέτε συμφωνώ. Θα επιστρέψω όμως σύντομα με περισσότερα μαθηματικά. Κάτι ακόμα, λόγο ηλικίας αλλά κυρίως λόγο ιδεολογίας, το να με αποκαλεί κανείς κύριο με ενοχλεί, θα προτιμούσα το σκέτο Μπατή, ή πολύ καλύτερα το σκέτο Κώστα.
ΥΓ. Αφού είστε σχολαστικός, γιατί δεν καταλάβατε ότι είναι διατύπωση ερωτήματος, και όχι ένα άρθρο, ούτε δήλωση υπέρ a priori εννοιών;
Κώστα δεν γνωρίζω ποια ηλικία και ποια ιδεολογία μπορεί να ενοχλείται από το επίθετο «κύριος», ωστόσο σέβομαι την άποψη και αυτή τη μορφή ευαισθησίας σου, όμως πίστεψέ με δεν ήθελα να σε ενοχλήσω.
Ταύτιση ποιων ιδεών Κώστα; Των δικών σου; Των δικών μου; Του Καντ στον οποίο αναφέρεσαι; Των Αϊνστάιν και Μινκόφσκι; Του Γαλιλαίου; Του Πυθαγόρα; Το Έγκελς; Του Χάρντι; Του Χίλμπερτ, του Καραμανλή, του Αλογοσκούφη, του Παπανδρέου ή του Καρατζαφέρη; Ποιες ιδέες και ιδίως με ποιο κριτήριο, θα ταυτίσεις με την πραγματικότητα να αναδείξεις την έννοια αλήθεια; Εάν λοιπόν σε αυτό βασίζεται όπως λες, εγώ λέω «άστο να βασίζεται». Όπως αντιλαμβάνεσαι δεν προτείνεις και τα καλύτερα εφόδια να εκκινήσουμε ένα ευχάριστο πόλεμο ιδεών. Απαιτείται λίγο μεγαλύτερο βάθος για να βρούμε νερό κια αυτό το λέω χωρίς να θέλω να σε μειώσω προσωπικά, αλλά να μειώσω τους δανεισμούς σου. Θα αναφερθώ και πάλι στον Καντ αμέσως.
Προσωπικά δεν αντιλαμβάνομαι τον ρόλο που αναγνωρίζεις στον Καντ. Τον σέβομαι σαν έναν άνθρωπο, όπως και κάθε ανθρωπο, που θέλησε να συγκεράσει τον ιδεαλισμό με τον υλισμό, αναποτελεσματικά θυμίζω, όμως η άποψή του για τα μαθηματικά είναι τόσο κοινή σαν κρατούσα αντίληψη, που δεν μπορούμε να την συνδέσουμε μαζί του. Κατά Εύνομο, ο Πυθαγόρας λειτουργούσε άυλα και νοερά πριν 2700 χρόνια. Ο Κάντ τι ρόλο παίζει εν προκειμένω; Του υποβολέα; Δηλαδή Κώστα και αν αρνιόταν ο Κάντ την εμπειρική προέλευση των επιστημών θα βάζαμε μαύρα από θλίψη;
Άκουσε φίλε μου. Ούτε αυτό είναι ακριβές περί του βαθμού αφαίρεσης. Δεν μένει μόνο η μορφή σαν αποτέλεσμα της αφαίρεσης, αλλά και τα μεγέθη και οι αμοιβαίες θέσεις των σχημάτων μεταξύ τους. Όμως, ούτε αυτό είναι ουσιώδες. Το ουσιώδες είναι αυτό που λες εσύ, ότι δηλαδή το θέμα είναι λυμένο πολλά χρόνια πριν τον Κάντ, ενώ δεν είναι λυμένο!
α. Το αληθές ή ψευδές στα μαθηματικά κρίνεται αποκλειστικά από τα αξιώματα. Ορθός ή λαθεμένος συλλογισμός ανήκει στα μαθηματικά μόνο όταν στηρίζεται άμεσα ή έμμεσα από αξίωμα. Αλλιώς δεν ανήκει στα μαθηματικά. Επομένως είναι ψευδής η πρόταση, μη ανήκουσα στα μαθηματικά, περί του αφαιρετικά της φύσης, που την θεωρείς λυμένη, αφού δεν υπάρχει αξίωμα που να υποχρεώνει κανέναν να αποδεχθεί να λειτουργούν τα μαθηματικά αφαιρετικά της φύσης. Αξίωμα κρατούσας αντίληψης δεν υπάρχει επίσης. Απόδειξη είναι τα εφαρμοσμένα μαθηματικά που κανείς δεν μπορεί να τα απαγορεύσει. Αν ήταν όντως λυμένο θέμα δεν θα υπήρχαν εφαρμοσμένα μαθηματικά, αλλά μόνο ιδεατά.
β. Τα μαθηματικά φίλε Κωστα δεν έχουν ιδιοκτήτες να παίρνουν αποφάσεις σαν να είναι οικόπεδό τους πόσους ορόφους θα σηκώσουν. Ποιος αποφάσισε για λογαριασμό μας, γιατί περί απόφασης πρόκειται, τα μαθηματικά να λειτουργούν αφαιρετικά της φύσης και όχι εναρμονισμένα με τη φύση και τα υλικά υποδείγματα, και μάλιστα χωρίς να διατυπώσει αξίωμα που να το προβλεπει δεσμευτικά; Όμως ξέρεις γιατί δεν διατυπώνουν τέτοιο αξίωμα που είναι πολύ εύκολο; Διότι τότε θα τους γυρίσουν όλοι την πλάτη σαν μια φαναταστική επιστήμη. Το αφήνουν στη αοριστία λοιπόν για να τους θεωρούμε και επιστήμονες και αφήνουν επίσης να σέρνεται και η άποψη ότι μπορούν να αποτελούν και συμπατική γλώσσα!
α. Αυτή η αναφορά σου σχετικιά με τη διάκριση των μαθηματικών σε καθαρά και εφαρμοσμένα, την οποία χαρακτηρίζω συμβιβασμό, από αδυναμία και μάλιστα χωρίς οι συμβιβασμένοι (μαθηματικοί) να ζητούν καμία γνώμη, αλλά αυθαιρετώντας αντιλαμβανόμενοι τα μαθηματικά σαν αποκλειστικά δική τους υπόθεση, με στόχο να καλύψουν τις συντεχνιακές αδυναμίες τους, είναι το όλο θέμα. Την ανάπτυξη που ζητάς θα την κάνω με παράδειγμα ώστε να γίνει και κατανοητός ο λόγος μου και να δειχθεί η αιτιολογία του.
β. Η διάκριση δεν είναι σωστή και ορθά συμπεραίνεις ότι πρέπει να αλλάξει, υπέρ των εφαρμοσμένων μαθηματικών (λέω εγώ). Η αιτία είναι ότι τα αμιγώς θεωρητικά ή «καθαρά» μαθηματικά ποτέ δεν εξέφρασαν τίποτα, ούτε μπορούν να το εκφράσουν. Όπου μπορούν μάλιστα να εκφράσουν οτιδήποτε, είναι προσεγγιστικά ή συνδέονται με τα εφαρμοσμένα. Π.χ. το 1-1=0 στη φύση δεν ισχύει. Οι αρχαίοι Έλληνες, ούτε αρνητικούς αριθμούς γνώριζαν, ούτε το μηδέν και χωρίς να θέλω να αναγορεύσω τους αρχαίους Έλληνες σαν μια σταθερά κρίσης περί την ορθότητα ή όχι, δεν βρίσκω τι χρησιμότητα μπορεί να έχει για τον άνθρωπο η χρήση του μηδενός και των αρνητικών αριθμών πέρα από το να παίζουμε και να το παίζουμε επιστήμονες!
Κώστα, τώρα θα σου αναπτύξω με παράδειγμα την άποψή μου ότι τα αποκομμένα από την φύση μαθηματικά είναι άχρηστα και αδύνατης εφαρμογής επί πραγματικής επιστήμης (όπως η δική σου στην οποία δεν χρησιμεύουν καθόλου και ας έχεις αντίθετη άποψη), αλλά μπορούν να αποτελούν μόνο ένα παιχνίδι γύμνασης και όξυνσης του νου, καθώς μπορούν να αυτοεπαληθεύονται με εσωτερική συνέπεια στο δικό τους περιβάλλον και πολλάκις ούτε σε αυτό. Χαίρομαι που είσαι φοιτητής πολιτικός μηχανικός, γιατί θα καταλάβεις στον ίδιο τον τομέα σου, πόσο γελασμένοι είσαστε όλοι οι πραγματικοί επιστήμονες από τους μη πραγματικούς επιστήμονες μαθηματικούς.
1. Πολυγραφότατος καθηγητής μαθηματικών πανεπιστημίου Κρήτης Πάρις Πάμφιλος – βάλε το όνομα στο Google να δεις τη σελίδα του – και η εργασία του Ευκλείδεια γεωμετρία. Θα πας σελίδα 74 Κεφάλαιο ΠΛΑΚΟΣΤΡΩΣΕΙΣ.
http://www.math.uoc.gr/~pamfilos/Geo2000.pdf
2. Μαλβίνα Παπαδάκη, M.Sc. του Μαθηματικού Illinois, Urbana ─ Καθηγήτρια του Πειραματικού Σχολείου του Πανεπιστημίου Αθηνών.
Από αυτό το κείμενο που σε παραπέμπω, έχει εκ των υστέρων αντιγράψει ο κύριος Πάμφιλος. Θα πας σελίδα 1, Σχέδιο με πλακάκια Επισήμναση: Χωρίς κοινές πλευρές. Αυτό σημαίνει ΥΛΙΚΑ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ.
http://www.hms.gr/apothema/?s=sa&i=2020&sr=on
Φίλε Κώστα είσαι υποψήφιος πολιτικός μηχανικός. Αυτές τις εφαρμογές των πλακοστρώσεων, που προβλέπονται από το πυθαγόρειο θεώρημα, που ομιλεί για αθροίσεις τετραγώνων, αύριο που θα εργάζεσαι θα μπορείς να τις εφαρμόσεις όπως αυτοί οι καθηγητές;
Θα σου θυμίσω ότι από το πυθαγόρειο σήμερα βρίσκονται στον άξονα των πραγματικών αριθμών (R) οι άρρητοι εκ των τετραγώνων, κύβων κ.τ.λ. δηλαδή αυτό το θεώρημα εξουσιάζει σε μεγάλο βαθμό τη σύγχρονη μαθηματική αντίληψη.
Πρόβλημα της αρμοδιότητάς σου, από άποψη επιστημονικής εξειδίκευσης.
Επίπεδο δάπεδο 2Χ2 μέτρα, να επιστρωθεί από 4 πλακίδια του 1 τ.μ το καθένα.
Μπορείς να κάνεις τέλεια επίστωση όπως προβλέπει το πυθαγόρειο και με ποιον τρόπο ακριβώς (να τον περιγράψεις σε παρακαλώ και ας σου φαίνεται αστείο το αίτημά μου) ή σε ξεγελάνε οι μαθηματικοί καθηγητές σου, όχι σκόπιμα βέβαια αλλά επειδή και οι ίδιοι είναι ξεγελασμένοι όπως εσύ;
Όπως βλέπεις, φεύγω από τη θεωρία και πάω στην πράξη εφαρμογής των αμιγώς θεωρητικών (βλέπε «καθαρά») μαθηματικών στη μελλοντική επαγγελματική σου απασχόληση.
Να είσαι καλά.
Δεν έχω καθόλου χρόνο, και για αυτό δεν προλάβαινα να γράψω τις προηγούμενες ημέρες, θα αναφερθώ σε κάποια πράγματα εν συντομία.
Για την αλήθεια. Όλοι αυτοί που αναφέρεσθε, μηδενός εξαιρουμένου, περνάνε από το κριτήριο της αλήθειας (το κριτήριο είναι η έννοια του). Δεν προλαβαίνω να γράψω για την αλήθεια και την πλάνη και πως αναπτύσσονται οι ιδέες (που δεν είναι τίποτα παραπάνω από το ίδιο το αντικείμενο «μεταφερμένο και μετασχηματισμένο στο ανθρώπινο κεφάλι»), στα link του ομίλου θα βρείτε κείμενα που αναφέρονται στο θέμα, και με βάση αυτά θα καταλάβετε σε ποια θέση βάζω τον Καντ.
Τα μαθηματικά δεν αναπτύχθηκαν με μιας, αλλά ακολουθούν μια ολόκληρη πορεία μέχρι σήμερα, όπου κάποιες «αυθεντίες» (για να δανειστώ τον χαρακτηρισμό σας) την ανάπτυξαν περισσότερο και σε πιο βασικά θέματα σε σχέση με άλλους, όπως ο Χίλμπερτ στον οποίο αναφέρεστε. Η πανάρχαια διάκριση των μαθηματικών σε καθαρά και εφαρμοσμένα δεν μπορεί να είναι αποτέλεσμα συντεχνιακών αντιλήψεων.
Όσον αφορά το πυθαγόρειο θεώρημα. Είναι εμφανές ότι στα κείμενα που αναφέρατε οι εν λόγω πανεπιστημιακοί προσπαθούνε να δείξουνε πως προκύπτουν κάποια πράγματα, δεν λένε «Κάντε το ίδιο για τα πλακάκια». Επίσης, για μια ακόμα φορά παρά την υπογραφή σας κάθε άλλο παρά σχολαστικός είστε. Φυσικά για τα πλακάκια δεν πρόκειται ποτέ να κάνω αυτήν την διαδικασία, όπως επίσης δεν πρόκειται ΠΟΤΕ να καθορίσω το μέγεθος στα πλακάκια με αυτά τα μαθηματικά που αναφέρεσθε. Ο Πολιτικός Μηχανικός ασχολείται με άλλα πράγματα (στατική μελέτη) που με βάση αυτά καθορίζει το μέγεθος στα πλακάκια (όπου αυτό είναι αναγκαίο, πχ. σε ένα σπίτι δεν είναι σημαντικό, ενώ σε ένα μαγειρείο ή ένα εργοστάσιο που μπορεί να υπάρξουν ζημιές λόγο κρούσης είναι σημαντικό). Έτσι το παράδειγμα είναι ολότελα άστοχο, και στην καλύτερη περίπτωση προκαλεί σύγχυση.
Για τους αρνητικούς αριθμούς. Είναι αδύνατο να καθίσω να περιγράψω σε πόσα πράγματα χρειάζονται οι αρνητικοί αριθμοί (σχεδόν παντού), που δεν θα μπορούσαν να περιγραφούν αλλιώς. Λίγο να ασχοληθεί κάνεις με τις θετικές επιστήμες καταλαβαίνει πόσο σημαντικό είναι. Φυσικά τα εφαρμοσμένα μαθηματικά χρησιμοποιούν τους αρνητικούς αριθμούς.
Έτσι λοιπόν ανακαλώ όσα είπα περί γνώσεων σας στα Μαθηματικά. Σας εύχομαι όταν μεγαλώσετε/ ωριμάσετε να γίνεται αυθεντικά σχολαστικός. Να μελετάει κανείς τα κείμενα σχολαστικά δεν είναι κακό, αρκεί να μην χάνεται σε ένα βάθος λεπτομερειών και χάνει το νόημα του κειμένου. Βέβαια εσείς καθ όλη τη διάρκεια της συζήτησης καμία λεπτομέρεια δεν κατανοήσατε.
Το ιδανικό για όλα τα παιδιά του ομίλου, αν καταλαβαίνουμε κάτι από παιδαγωγική, είναι να κατανοούμε πάντα με ποιον μιλάμε, να τον βοηθάμε στις αδυναμίες του, να επικεντρώνουμε εκεί που πρέπει και με βάση τις ιδέες του συνομιλητή. Όμως λαμβάνοντας υπόψη ποιες είναι αυτές τις αδυναμίες, και της φοβερής πίεσης χρόνου που έχω που δεν μου επιτρέπουν να ασχοληθώ συστηματικά με το θέμα μας, προσωρινά δεν συνεχίζω αυτήν την συζήτηση. Η φιλοσοφία δεν είναι αμπελοφιλοσοφία, δεν είναι αυθαίρετες διακηρύξεις, δεν είναι συμπεράσματα με βάση αποκομμένες μη επεξεργασμένες νοητικά πτυχές του αντικειμένου, με αυτόν τον τρόπο δεν προσφέρει σε τίποτα. Στο προσωπικό μου πρόγραμμα είναι συστηματική ενασχόληση με την «Φιλοσοφία των μαθηματικών», όταν είμαι έτοιμος θα το ανακοινώσω εδώ. Για την ώρα σταματάω την συζήτηση εδώ.
Κώστα οφείλω να ομολογήσω ότι δεν κατάλαβα τίποτα από τα πυκνά νοήματά σου.
Μέχρι να βρεις χρόνο εσύ και να ωριμάσω εγώ, ας αφήσουμε την κουβέντα.
Πάντως αν αντικείμενο του προγράμματός σου είναι η φιλοσοφία των μαθηματικών σου προτείνω το βιβλίο "Η φιλοσοφία των μαθηματικών μέχρι τον Καντ" (δες σύμπτωση!) του καθηγητή Αναπολιτάνου.
Να είσαι καλά και να με συγχωρείς που σε έβγαλα εκτός προγράμματος με τις ανοησίες μου.
Φιλικά